平面解析幾何作為高考數(shù)學(xué)的重要組成部分，主要包含直線與圓以及圓錐曲線兩部分內(nèi)容，在通過計算關(guān)的情況下，很多學(xué)生面對考試，總是感到無從下手。如何突破這個瓶頸呢?我認(rèn)為重點(diǎn)要從思維層面對解析幾何進(jìn)行突破。

　　要明確解析幾何的核心是什么

　　簡而言之，解析幾何就是用代數(shù)方法研究幾何問題。

　　第一，解析幾何的研究對象是幾何對象，解決的是幾何問題，我們需要關(guān)注幾何對象的特征——形狀、大小、位置，同時透徹分析所面對的幾何問題。如果我們關(guān)注的是單一的幾何對象，比如基本的點(diǎn)、線(包括直線與曲線)等，我們需要關(guān)注是用什么方式呈現(xiàn)給我們的，如果是描述表達(dá)的，那么需要思考所描述的特征如何進(jìn)行代數(shù)表達(dá)，為后期的代數(shù)化做好準(zhǔn)備;如果是通過坐標(biāo)或方程的形式給我們的，那么代數(shù)表達(dá)下實(shí)際的幾何特征又是什么，需要我們第一時間搞清楚。如果我們關(guān)注的是多個幾何對象，除了需要搞清楚單一幾何對象的特征外，還要搞清楚多個幾何對象之間的關(guān)系：如果是固定不動的幾何對象，往往我們更關(guān)注相互之間的位置關(guān)系;如果是運(yùn)動的多個幾何對象，我們需要搞清楚在運(yùn)動過程中什么是變的、什么是不變的，在變化過程中有什么特征又是相對不變的。

　　第二，解析幾何的研究方式是代數(shù)方式，因此計算能力必須過關(guān)。代數(shù)化方式的選擇不同，對于幾何特征的表示就不同，對于幾何問題的轉(zhuǎn)化也會不同，直接的體現(xiàn)就是代數(shù)運(yùn)算量的不同，而代數(shù)化方式的選擇是基于對幾何對象和幾何問題特征的研究。對于幾何對象特征把握得透徹、對于幾何問題思考得深入，才能選擇更好的代數(shù)化方式。

　　要明確解決解析幾何問題的一般步驟

　　在深刻理解解析幾何“用代數(shù)方法研究幾何問題”這個核心之后，還要做到從幾何中來、到幾何中去，注重代數(shù)化方法的選擇。

　　解決解析幾何的問題，一般分為以下四個步驟：

　　(1)結(jié)合圖形分析幾何特征：既然是幾何問題，圖形是重要的分析手段。通過作圖并標(biāo)記幾何條件，分析所有對象的幾何特征，包括個體對象的形狀、大小、位置，尤其是運(yùn)動的幾何對象在運(yùn)動過程中不隨運(yùn)動改變的特征，以及幾何對象之間的關(guān)系。通過特征分析，為代數(shù)化幾何特征做好充足的準(zhǔn)備。

　　(2)幾何特征恰當(dāng)代數(shù)化：對于個體幾何對象，我們通常借助坐標(biāo)或方程的方式進(jìn)行代數(shù)化，對于固定的幾何對象也要注重選擇恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)化手段，如選擇不同的方程形式;而幾何對象之間的關(guān)系，往往我們通過聯(lián)立方程組、引進(jìn)參數(shù)建立方程等方式進(jìn)行代數(shù)化，這時我們特別需要注意在準(zhǔn)確表達(dá)的同時盡量減少方程的數(shù)量以及參數(shù)的個數(shù)，為后期的代數(shù)運(yùn)算“減負(fù)”。

　　(3)優(yōu)化代數(shù)運(yùn)算解決問題：比如面對有關(guān)范圍的問題，我們往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題研究解決，在高中階段解析幾何中的范圍問題，我們大多可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或者對勾函數(shù)去解決，當(dāng)我們成功轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題后，同時不只要關(guān)注函數(shù)的單調(diào)性，還要關(guān)注到幾何背景，比如我們研究的幾何對象的范圍;再比如關(guān)于直線過定點(diǎn)的問題，一種方式是采用寫出含參的直線方程，通過對方程的代數(shù)化分析找到定點(diǎn)，另外一種方式是通過對幾何對象特殊位置的分析，找到定點(diǎn)，采用先猜后證的方式進(jìn)行解決，而采用先猜后證的方式往往比通過分析找到定點(diǎn)的計算量會小不少，相比較來說就是更優(yōu)的解決問題方式。

　　(4)把代數(shù)化的結(jié)論還原成幾何結(jié)論，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)。往往通過代數(shù)化的手段，問題已經(jīng)得到解決了，但是得到的幾何結(jié)論有沒有更深刻的幾何背景呢?比如我們在圓中有圓冪定理，那么如果在橢圓中得到了類似的結(jié)論，是巧合還是必然?如果是必然，那么背后是否有更深的幾何意義?當(dāng)我們積累到一定程度的時候，會發(fā)現(xiàn)似乎解析是幫我們解決問題的手段，發(fā)現(xiàn)解析背后的原理才是我們思考的終極樂趣。

　　(作者王雨新系北京師范大學(xué)第二附屬中學(xué))

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